Quello che sappiamo del bosone di Higgs: come si leggono i diagrammi di Feynman?

Alla fine della puntata precedente, quella in cui abbiamo esaminato le prime due righe della lagrangiana del Modello Standard, ci siamo lasciati dicendo che le interazioni descritte da quelle equazioni sono spesso rappresentate sotto forma di diagrammi di Feynman. Nei commenti all'articolo, qualcuno mi ha fatto notare che la lettura e comprensione dei diagrammi di Feynman non era affatto scontata. Prima di continuare la dissezione della lagrangiana, fermiamoci allora a capire come usare questi disegnini.

Come sempre, metto le mani avanti! I diagrammi di Feynman sono un sistema potentissimo per rappresentare e organizzare calcoli di ampiezze di probabilità legate ai fenomeni descritti da una certa teoria quantistica di campo, e per ottenerne la predizione delle loro proprietà. Dietro a ogni disegnino c'è dunque un'equazione, organizzata per pezzi e secondo regole precise. I diagrammi non andrebbero dunque intesi come una rappresentazione della realtà, se non nella misura in cui semplificano all'occhio del fisico una relazione matematica. Sono però così efficaci nel compiere il loro lavoro di semplificazione da essere diventati ubiqui, e spesso gli stessi fisici cadono nell'errore di considerarli una mappatura precisa della realtà. Realtà che, invece, è rappresentata dalla somma contemporanea delle ampiezze descritte da tutti i diagrammi possibili, come sa bene chi ha letto QED del buon Richard Feynman, la cui lettura consiglio a tutti i curiosi. Per coloro tra di voi che volessero invece leggere qualcosa sulla storia dei diagrammi di Feynman e del loro successo, consiglio questo articolo apparso su American Scientist nel 2005.

Cominciamo dalle basi. I diagrammi di Feynman descrivono un'interazione tra particelle e campi nel tempo e nello spazio (o meglio, nello spazio-tempo della relatività ristretta). Questo significa che ogni diagramma esiste in una rappresentazione bidimensionale dello spazio-tempo, un piano in cui una coordinata rappresenta lo spazio (tridimensionale, schiacciato su una sola coordinata), l'altra il tempo:

Non è l'unica convenzione possibile: per esempio, lo stesso Feynman almeno inizialmente usava la convenzione inversa, dove lo spazio è la coordinata orizzontale, il tempo quella verticale. La convenzione che trovare nei miei articoli è semplicemente quella che i fisici delle particelle di oggi usano più sovente.

In questo spazio-tempo bidimensionale, l'evoluzione delle particelle è rappresentata da linee che ne schematizzano le traiettorie. L'evoluzione dello stato di una particella di materia, ad esempio un elettrone, è rappresentata da un tratto che unisce due punti diversi nello spazio-tempo.

La linea che rappresenta l'evoluzione dello stato di questo elettrone ha una freccia che ne indica il verso. Questa freccia potrebbe sembrare ridondante: in fondo, il tempo evolve esclusivamente da sinistra verso destra nel diagramma La freccia serve però per distinguere le particelle di materia da quelle di antimateria. Secondo l'equazione Dirac, infatti, le anti-particelle possono essere infatti immaginate come stati di materia con energia negativa, o, per estensione, come particelle che si muovono indietro nel tempo. Non entrerò qui nel dettaglio della teoria di Dirac e della sua interpretazione, vi invito però a prendere per buono il fatto che, su un diagramma di Feynman, una linea con un senso di percorrenza opposto allo scorrere del tempo rappresenta un'antiparticella:

Se linee continue sono riservate alle particelle di materia, le particelle mediatrici delle interazioni, i cosiddetti bosoni vettori, sono tradizionalmente associati a una linea ondulata. L'origine della convenzione è da ricercarsi nello sviluppo dell'elettrodinamica quantistica: il mediatore dell'elettromagnetismo, il fotone, è in qualche modo l'equivalente quantistico di un'onda elettromagnetica, da cui il disegno corrispondente:

L'uso della tratto ondulato si è poi esteso anche alla particelle mediatrici dell'interazione debole, i bosoni W e Z, mentre per i bosoni responsabili dell'interazione forte, i gluoni, si è preferito usare un simbolo diverso che mi mostrerò tra un attimo.

In ogni diagramma di Feynman possiamo individuare un stato iniziale e uno stato finale, e un fenomeno che trasforma il primo nel secondo. Ogni tratto rappresentante una particelle deve dunque essere connesso con gli altri che appaiono nel diagramma, altrimenti il diagramma non descriverà nessuna interazione, e nessuna evoluzione dello stato iniziale.

Le interazioni sono descritti da vertici, dei punti in cui diversi tratti si incrociano secondo le regole specifiche dell'interazione in questione, e in cui succede qualcosa. Nel caso dell'interazione elettromagnetica, una particella dotata di carica elettrica può emettere un fotone, così come un fotone può dare vita a una coppia particella-antiparticella dotate entrambe di carica elettrica opposta. Ecco dunque come si rappresenta un elettrone che a un certo punto emette un fotone, un fenomeno che si chiama Bremsstrahlung:

Nello stato iniziale abbiamo un elettrone, in quello finale lo stesso elettrone, le cui proprietà sono però cambiate per via dell'emissione di un fotone, fotone che troviamo insieme all'elettrone nello stato finale. Analogamente, ecco la rappresentazione dell'annichilazione di una elettrone con un positrone:

Se fate attenzione, vi accorgerete che i due diagrammi si assomigliano molto: il secondo può essere ottenuto dal primo ruotando il tratto dell'elettrone uscente dello stato finale per portarlo nello stato iniziale, senza modificare altro. L'inversione del senso della freccia lo trasforma nella rappresentazione di un positrone: questo giochino di magia è in realtà la rappresentazione delle proprietà di simmetria spazio-temporali delle teorie quantistiche di campo!

Da questi diagrammi semplici, che descrivono le interazioni fondamentali di una teoria, è possibile sviluppare tutti i fenomeni che la teoria ammette. Possiamo per esempio rappresentare l'incontro tra un elettrone e un positrone, la loro annichilazione, e la successiva creazione di un'altra coppia elettrone-positrone da parte del fotone di annichilazione, ovvero una componente di quel fenomeno che chiamano scattering Bhabha:

Se pensate alle regole di interazione tra elettroni, positroni e fotoni che abbiamo imparato fino ad ora, non vi sarà difficile capire che questo non è l'unico modo in cui un positrone può interagire con un elettrone. È infatti anche possibile che avvicinandosi, invece di annichilirsi tra loro, le due particelle si "parlino" tramite lo scambio pressoché istantaneo di un fotone, in questo modo:

Lo stato iniziale e finale di quest'ultimo diagramma, \(e^+ e^- \to e^+ e^-\), sono gli stessi di quelli del diagramma precedente, ma in questo caso il fotone non evolve nel tempo: è quello che in gergo chiamiamo lo scambio di una particella virtuale, qualcosa che è concesso dalle strane regole della meccanica quantistica, e che contribuisce in modo altrettanto importante alle proprietà globali dello scattering Bhabha.

Gli ingredienti dei diagrammi permessi nel Modello Standard sono disegnati qui sotto. I fermioni (leptoni e quark), i bosoni mediatori dell'interazione elettromagnetica e debole, i gluoni mediatori dell'interazione forte, e ovviamente il bosone di Higgs. I gluoni, sebbene anch'essi siano bosoni mediatori di un' interazione, sono tradizionalmente rappresentati da un tratto "a cavatappi" diverso dall'onda riservata a fotone, W e Z.

Quali diagrammi possiamo disegnare? Tutti quelli che rispettano le leggi della teoria che abbiamo sottomano, che, nel caso delle prime due righe del Modello Standard che abbiamo analizzato nella scorsa puntata, sono riassunte dalle possibili interazioni che vi avevo già mostrato:

Come già per il vertice dell'interazione elettromagnetica, anche questi vertici non devono per forza apparire nella forma e orientamento mostrati lì sopra. Vale dunque spostarne e allungarne i rami, o ribaltare la simmetria, a patto di non modificarne la topologia di base (il numero e il tipo di tratti che forma un dato vertice è fisso e non si può cambiare!). Ci sono poi altre regole da rispettare, tutte legate a varie leggi di conservazione: i diagrammi devono rispettare la conservazione della carica elettrica, quella dei diversi numeri leptonici, dello spin, e così via... Impararle richiederebbe un vero corso di fisica delle particelle, ma, se vorrete cimentarvi a comporre il vostro diagramma di Feynman di un possibile processo del Modello Standard, fotografatelo e mandatemelo: vi dirò volentieri se ha senso, o altrimenti quali errori contiene.

Ecco un esempio concreto. Quello qui sotto è il diagramma che descrive il modo più probabile di produrre un bosone di Higgs in una collisione tra due protoni di LHC. Due gluoni, provenienti ciascuno da uno dei due protoni che si scontrano nella collisione, si fondono grazie all'intercessione di un girotondo di quark top per produrre un bosone di Higgs, il quale, grazie a un altro girotondo di bosoni W, decade infine in una coppia di fotoni...

Ehi! Aspetta un po'... In questo diagramma ci sono dei dei vertici di interazione che non sono elencati nella lista proposta poco fa! In effetti, sono proprio quelli di cui parlano le altre due righe della Lagrangiana del modello Standard, quelle che inizieremo a discutere nella prossima puntata!

(continua)