Devo ammettere che sono rimasto stupito dal numero di commenti all'articolo sugli sciami elettromagnetici. Ma come? Meno di una decina di tentativi di risposte al compito a casa? Non che me aspettassi migliaia, ma visto che quell'articolo negli ultimi giorni è stato letto (o perlomeno aperto) parecchie centinaia di volte, il rapporto tra letture e tentativi di risposta mi sembra un po' scarso. Forse l'articolo era troppo lungo, e non tutti sono arrivati al fondo (TL;DR?). O forse alcune delle mie ipotesi di fondo erano sbagliate.
Nella mia visione rosea del mondo, il calcoletto proposto nei compiti a casa doveva infatti essere alla portata di uno studente delle superiori. Forse la mia immagine dello studente medio delle superiore è appunto un po' troppo rosea, sia in termini di competenze specifiche (invertire un esponenziale? Fare un logaritmo?), sia, ed forse è peggio, i termini di capacità di ragionamento analitico. Riflettendoci un po', questo è forse il problema principale della divulgazione scientifica. Che cosa interessa della scienza? Le immagini mirabolante? L'impressione di aver capito? Però - non sia mai - senza fare un conto! Come se i conti fosse accessori alla comprensione, anche quella semplificata, un orpello necessario al tecnico che ci lavora per davvero, ma non a chi vuole solo capirne un po'. Beh, non credo sia vero, e proverò a dimostrarvelo proprio con l'esempio del calorimetro elettromagnetico di cui abbiamo parlato.
Il compito a casa chiedeva di calcolare quante lunghezze di radiazione servono a fermare in fotone (o un elettrone) con energia di 100 GeV o 1 TeV nell'ipotesi semplificatissima che l'energia critica sotto la quale le particelle di uno sciame elettromagnetico vengono assorbite dal materiale che attraversa sia 10 MeV, e che per ogni lunghezza di radiazione attraversata ogni particella dello sciame si sdoppi in due particelle con metà dell'energia. Come si risolve questo problema? Ci sono diversi approcci possibili, più o meno formali.
Iniziamo con quello intuitivo, probabilmente più semplice. Il fotone iniziare ha energia \(E_0\), e produce uno sciame con \(k\) particelle, ognuna delle quali avrà energia \(\frac{E_0}{k}\). Quando questa energia è uguale (o minore) dell'energia critica di \(E_c\) = 10 MeV, allora lo sciame si ferma. Posso calcolare al volo quante particelle deve avere lo sciame per fermarsi: \(k=\frac{E_0}{E_c}\), ovvero \(k = 10^4\) nel caso \(E_0\) = 100 GeV (1 GeV sono \(10^9\) eV, 1 MeV \(10^6\) eV), \(k = 10^5\) per \(E_0\) = 1 TeV (1 TeV = \(10^{12}\) eV) (se siete persi nei suffissi scientifici mega, giga e tera, data un'occhiata qui). Quante lunghezze di radiazione mi servono perché la mia particella iniziale si trasformi in uno sciame di \(k\) particelle? Se il numero di particelle raddoppia ogni lunghezza di radiazione attraversata, dopo un numero \(n\) di lunghezze di radiazione avrò \(k = 2^n\) particelle. Potete mettervi pazientemente con carta e penna o una calcolatrice, e trovare qual è la potenza di 2 che approssima di più \(10^4\) e \(10^5\). Per i pigri, sono rispettivamente un po' meno di 14 (\(2^{14}\) = 16384) e un po' meno di 17 (\(2^{17}\) = 131072).
Ma un fisico (o lo studente delle superiori dei miei sogni) non risolverebbe così il problema! Troppi passaggi, e il prova-e-riprova con la calcolatrice è lungo e inefficiente. Meglio un approccio più formale, e un paio di formulette. Pronti? L'energia di una particella nello sciame semplificato che stiamo descrivendo è:
\( E = \frac{E_0}{2^n}\)
dove \(E_0\) è l'energia iniziale del fotone, e \(n\) il numero di lunghezze di radiazione attraversate. Lo sciame si ferma quando \(E = E_c\), e dunque:
\(2^n = \frac{E_0}{E_c}\)
\(n = \log_2 (\frac{E_0}{E_c})\)
dove il secondo passaggio dovrebbe esservi chiaro se avete studiato i logaritmi, cosa che, se fanno fede le mie ricerche, si dovrebbero ancora studiare al terz'anno del liceo scientifico, e a un livello simile negli istituti tecnici (sul liceo classico non mi pronuncio!). Altrettanto semplice dovrebbe essere la trasformazione in logaritmo in base 10 (perché non tutte le calcolatrici sanno calcolare i logaritmi in base 2). Se infatti andate a rinvangare nel vostro libro di matematica delle superiori, troverete questa formula:
\( \log_a x = \log_a b \log_b x\)
che ci permette di riscrivere:
\(n = \log_2 (10) \log_{10} (\frac{E_0}{E_c}) =\simeq 3.32 \log_{10} (\frac{E_0}{E_c})\)
Con questa formula potete risolvere al volo il problema che vi ho dato: per \(E_c\) = 10 MeV, \(E_0\) = 100 GeV o 1 TeV, al volo trovate \(n\) = 13.28 o 16.61. Che tra l'altro, è un risultato esatto rispetto alle approssimazioni fatte prima.
Ma la cosa migliore è che questa formula vi permette di risolvere il problema per tutte le situazioni possibili: per qualunque energia del fotone o dell'elettrone entrante, e per qualunque valore dell'energia critica sotto la quale le particelle dello sciame vengono assorbite (che può dipendere dal materiale che sceglierete). Questo vi permette per esempio di fare un grafico del genere, dove disegnare, per un certo valore dell'energia critica, quante lunghezze di radiazione vi servono per fermare un fotone in funzione della sua energia iniziale:
Un'occhiata a questo grafico vi insegna molte più cose che mille parole: per esempio, che la quantità di lunghezze di radiazione necessarie per fermare un fotone non cresce in modo costante con l'energia del fotone stesso. Se raddoppia l'energia del fotone, non avete bisogno di raddoppiare la lunghezza del vostro rivelatore per fermarlo. La cosa è vantaggiosa, perché invece, per misurare con precisione una particella con tracciatore, la dimensione di questo rivelatore dovrebbe crescere in modo linearmente proporzionale con l'energia. Un grafico come quello lì sopra vi permette di fare non solo delle previsioni puntuali (quante lunghezze di radiazione per fermare una particella di una certa energia), ma anche di comprendere delle proprietà globali (la lunghezza necessaria non aumenta linearmente con l'energia, dunque questo tipo di rivelatore potrebbe rivelarsi più appropriato, rispetto a un tracciatore, per particele di alta energia).
Questo è il segreto principale del successo indiscusso della modelizzazione matematica dei fenomeni naturali: certo, da una parte il poter calcolare in modo puntuale le caratteristiche di un certo fenomeno in determinate condizioni. Ma anche - soprattutto! - il poterne cogliere le proprietà globali, le sole che permettono una comprensione profonda non solo del funzionamento, ma anche del senso di un fenomeno, e del suo ruolo in un contesto più ampio. Non abbiatene paura!
Io sono rimasto ai solenoidi! 😀 Anche perché ho dovuto fare un bel ripassino! Magari dopo mi ci metto(ora studio italiano! 🙁 ).
A parte i sogni si dice che ogni formula dimezza il numero di lettori; se poi si chiede anche di creare la formula...
Comunque bello, e poi non tutti gli studenti diventeranno fisici (anche se, cribbio, la mate serve eccome!)
@Juhan: nel mio caso, le formule sembrano solo ridurre il numero dei commentatori. La matematica ammutolisce 🙂
Marco, grazie per la lezione di matematica;
confesso che, personalmente, ho avuto da sempre un costante rifiuto per la matematica in generale...
la cosa che più mi ha impedito di studiarla è la soggettiva difficoltà, di associare una formula ad un utilizzo pratico.
Ad esempio mi trovo a mio agio nell'elettronica;
per lavoro spesso utilizzo RTU/PLC e le porte logiche ed in generale i problemi logici mi divertono assai;
dover inventare una soluzione, battendoci il capo , magari trovando le soluzioni nei momenti più disparati (di notte, o al risveglio)...
Ma tornatndo alla matematica, per come l'ho studiata e/o per come l'hanno insegnata, non sono mai riuscito a trovare un significato apparentemente "materiale" od uno scopo preciso.
Con le tue poche righe e l'applicazione ad un problema "reale" ho capito in 1 minuto il significato e le possibili applicazioni del logaritmo.
Si lo so è triste; triste è la mia conoscenza della matematica, forse è triste anche che quello che stò dicendo (probabilmente) accomuna molte più persone di quelle che io stesso immagino..
però in questo momento sono anche contento di aver letto il tuo post, che mi ha fatto capire non solo i logaritmi....
Ciao
Marco
scusa se scrivo nei commenti di questo post anche se non c'entra.
credo ci sia un problema con le categorie del tuo blog: se guardo "fisica", ad esempio, l'ultimo post che appare è di dicembre 2011, quando gli ultimi post sui rivelatori di particelle sono di pochi giorni fa. pensavo fosse giusto segnalartelo!
inoltre ho provato a scrivertelo da "contatti", ma per due volte mi ha dato errore e non sono riuscita a inviare nulla.
già che ci sono, volevo chiederti se pensi di fare un bel pdf sui rivelatori quando avrai finito di scrivere, come avevi fatto tempo fa con gli articoli su lhc!
@b: in effetti c'era un problema con il sistema di cachino e le pagine delle categorie (non mi chiedere dettagli!), dovrebbe essere a posto adesso. Quanto alla pagina dei contatti, nei vari test che ho fatto sembra funzionare correttamente: puoi provare di nuovo? Infine: un PDF sui rivelatori? vedremo... 🙂
Figurati che io non ricordandomi la formuletta, e non avendo voglia di andare sul sito Wolframalpha 🙂 ho calcolato il risultato tenendo in mente cosa rappresentava il logaritmo. Quindi il logaritmo rappresenta l'esponente da dare a 2, in questo caso, per avere E0/Ec? Allora ho preso la calcolatrice ed ho moltiplicato tante volte il 2 fin tanto non superavo il valore del rapporto E0/Ec. Certe cose danno soddisfazioni 🙂
Bisogna vedere quali "superiori" si è fatto. Poi va detto che alcuni di noi hanno fatto le superiori circa 30-40 o 50 fa anni fa, e non è detto che debbanno ricordare cosa sia un logaritmo.
Comunque sia, a mia difesa, posso dire di aver letto tutto l'articolo senza rileggerlo (come si fa con gli articoli di giornale), ma non i precedenti...eppure ho avuto il coraggio di gettare, ad intuito, una risposta. E' possibile quindi che non abbia compreso la domanda (non avendola approfondita). Sicuramente ho un torto, ma non mi si può dire di aver avuto paura. 🙂
@My_May:
Yoda ti risponderebbe "tu l'avrai" 🙂
"i conti aiutano la comprensione".
C'è una certa meraviglia nel constatare che la natura si celi attraverso dei conti da fare, mentre, almeno apparentemente, nessuno si è messo a farli prima di noi per creare tale natura. In altre parole: L'uomo comprende la natura facendo gli stessi conti che la natura ha fatto senza nemmeno pensarci su un momento. Non so se ci rendiamo conto!
Mi sento dentro un vuoto di comprensione che credo nessun conto potrà mai riempire.
Sono passati solo 20 anni dalla maturità scientifica.
Tonnellate di logaritmi, derivate, integrali. MAI capito a cosa servissero "in pratica", dal momento che in laboratorio di fisica ci siamo andati 3 volte (3!!) in 5 anni....
All'università, poi ho fatto tutt'altro.
Mi spiace aver "buttato" quadernoni e quadernoni di calcoli. Magari adesso potrebbero non farmi fare brutta figura di fronte ad un quesito come quello proposto da Marco. "Ma hai fatto lo scientifico", seeeee
Scusami ma non ho capito come faccio a calcolare log2 (10) se la calcolatrice non digerisce i logartmi in base 2?
@Lorenzo: fai come facevano i nostri padri, usando le tavole logaritmiche. Per esempio:
http://books.google.fr/books/about/Tavole_logaritmiche.html?id=4ucPAAAAYAAJ&redir_esc=y
@lorenzo
http://mac.softpedia.com/downloadTag/ruler+emulator (Mac)
o
http://www.softpedia.com/downloadTag/Ruler+Emulator (Windows)
🙂
Far di conto è di sicuro una bella cosa, anche se non è tutto. Cmq volevo sottolineare il discorso che ha fatto My-May qui sopra, concordo in pieno anche a me sfugge come questi numeri si siano combinati fin dalla notte dei tempi cosi per caso ..... boh forse c'era qualcuno che si è messo a contare le pecorelle per la prima volta 🙂
@Asmaro: mi permetto di insistere, perché penso che sia importante. "Far di conto" non è tutto, ma è il prerequisito e lo strumento principe. Senza, non si va da nessuna parte. Non ci sono intuizioni che tengano: per ragioni che non comprendiamo in pieno (e in questo ha ragione @My_May) la Natura ha scelto di parlare la lingua della matematica. O meglio, la matematica è quanto di più simile l'uomo abbia inventato che si avvicini al linguaggio della Natura. In entrambi i casi, non conoscerla significa tagliassi fuori da dialogo.
@asmaro
Grazie per aver apprezzato un pochino quel che volevo dire.
Oggi per me è stata una giornataccia, quindi questo è stato l'unico sollievo della giornata.
Siccome sono però ancora "in vena" di sorridere, ho immaginato una natura in sciopero, tipo: oggi non calcolo più alcun logaritmo. 😀 Oppure: oggi la relatività non funzionerà più!
Una natura in sciopero non sarebbe una cosa da poco; diventerebbe praticamente un sindacato inattaccabile. Se un fisico si trovasse difronte ad una natura capace di scioperare, non potrebbe far altro che cambiare lavoro, magari il cartomante.
Grazie Marco per questo bel post!
Penso che con un insegnante come te, nessuno piu' a scuola odierebbe la matematica o la fisica...
@lorenzo
Usa la seguente formula: log_2 (10) = 1 / log_10 (2).
Il log a base 10 sulla calcolatrice c'è di sicuro...
(Deriva dalla formula log_a (b) = log_c (a) / log_c (b) con a, b e c positivi e diversi da 0 e 1.)
Ehm "ovviamente" era log_a (b) = log_c (b) / log_c (a) altrimenti non torna per c=a. Scusate... 😉
Io ero arrivato a fare il calcolo al "contrario" con 2^n = 10^4 e 2^n = 10^5 che ho risolto velocemente con la calcolatrice grafica 😀 per trovare n.
Caro Marco, avrei dovuto postare prima così forse la media si alzava 🙂
Saluti
Premetto che sono andato a leggere quel che si dice in giro a proposito del concetto di "logaritmo", giusto per tentare di portare a memoria qualcosa del passato; vano però è stato il tentativo, alcun ricordo è ritornato. Spero che Marco abbia altre occasioni per stimolare la mia mente atrofizzata.
Al centro di tutto questo discorso, quel che stimola maggiormente la mia mente però (ed è il motivo per cui oggi leggo anche di logaritmi) è l'elemento filosofico che riguarda la "natura" della natura. Se avessi portato a compimento il calcolo che Marco aveva richiesto, avrei potuto dire di aver compreso la natura della natura? Marco direbbe di si, o per lo meno, essendo la matematica l'unica lingua a cavallo tra l'uomo e la natura, conoscerla darebbe l'opportunità di continuare a dialogarci.
Tutto sommato non sono in disaccordo con Marco, ma c'è un elemento che sfugge a Marco (forse, sono sicuro però che lui è uno di quelli che questo elemento non sfugge) e alla quasi totalità dei fisici: noi non siamo diversi dalla natura, quindi il dialogo è strettamente soggettivo e avviene all'interno della natura.
Prendo, fra tutti, un esempio e cerco di arrivare al dunque: io alzo un bicchiere di vino e brindo alla vostra salute.
Ingegneri, matematici, fisici ecc. direbbero che la natura, attraverso "conti da fare", ha permesso a me di alzare il bicchiere per brindare. Questo però è l'aspetto più "freddo" della natura. Anche un robot, ben programmato attraverso tutti i possibili conti da fare, riuscirebbe ad alzare quel bicchiere, ma non è detto che lo faccia per brindare alla vostra salute. L'elemento che la matematica non studia ancora e che la fa diventare appunto "fredda" agli occhi dei molti che non la digeriscono (compreso io, che comunque un tentativo lo fa) è quel elemento umano che sfugge al dialogo. L'uomo però fa parte della natura, ed è per questo che, l'unico elemento umano esistente nella natura, sfugge, a tutt'oggi, alla matematica.
@My_May
Prendo, fra tutti, un esempio e cerco di arrivare al dunque: io alzo un bicchiere di vino e brindo alla vostra salute.
Ingegneri, matematici, fisici ecc. direbbero che la natura, attraverso "conti da fare", ha permesso a me di alzare il bicchiere per brindare.
brutta bestia la filosofia.......delle scienze poi...
modello nomologico-deduttivo
suggerisco Federico Enriques filosofia della matematica
Marco per carità non fraintendere quello che ho detto 🙂 sono convinto al 100% di quello che dici, volevo solo rimarcare quello che aveva espresso My-May, naturalmente non sono un esperto in matematica ma ti garantisco che comprendo molte piu formule io che tanti universitari in fisica 🙂 e la mia cultura in questo senso me la sono fatta da solo grazie ad internet e ai fogli di calcolo di excell, certo non comprendo equazioni complesse ma logaritmi algoritmi ecc. ecc. si, pensa grazie a questa "piccola" conoscenza aiuto mia figlia con i compiti di matematica (frequenta le superiori):) non credo sia possibile comprendere e ragionare di qualsiasi cosa se non si hanno almeno le basi su cui si fonda la matematica, penso sia questo il pregio di questa materia ti apre la mente e ti aiuta anche a ragionare nella vita di tutti i giorni.
Ciao
Ora che ho avuto un po' di tempo energetico, in più, per informarmi meglio, da quel che ho capito un logaritmo è un concetto che semplicemente vuole esprimere una "relazione"; per cui conoscendo due numeri possiamo ricavarne un terzo, che appunto esprime la relazione fra loro (sto sbagliando?). Ma in modo più banale forse, prima del logaritmo, esisteva solo l'esponente di un numero tipo: 2 elevato alla- Così che è stato poi facile ( va bhe..tanto per dire) trovare la relazione fra il numero (chiamato base) l'esponente e il suo "risultato". Quindi per una base b (numero positivo) esiste un solo numero reale x che si ottiene (il famoso risultato) elevando b alla y.
Per finire il classico esempio estremo, se ho il numero 3 ed esso rappresenta la base e 8 il risultato, (detto meglio: logaritmo di 8 base 3), y rappresenterà l'esponente di 3 che da come risultato 8. Quindi il logaritmo rappresenta la relazione (in questo caso) tra 3 (base) e 8 (chiamato anche "argomento). Non è semplicemente l'esponente di 3 (come all'inizio ho pensato ad intuito) anche se in estrema razio è l'esponente di 3.
Purtroppo, essendo un esempio estremo (l'ho preso apposta:D), questo numero di relazione fra 3 e 8 è irrazionale e non può essere rappresentato ne come frazione, radice o altro.
Se ho fatto casini... 🙂
Grazie per le risposte..chiaramente sapevo di poter ricorrere alle tavole logartmiche, quello che pensavo di non aver capito era relativo alla formula utilizzata da Marco per il passaggio di base, che avevo inteso potesse risolvere totalmente il fatto di dover calcolare in base 2.
Grazie quindi a Mauro per aver difatto proposto la metodologia che, in aggiunta a quella di Marco, permette di risolvere totalmente il calcolo in base 10 e anche a Neutrino per i link postati (veramente carina quella applicazione)!
Scusa per il ritardo.
Io ho usato questo metodo: ln(10^4)/ln(2)=n=13.28771238
Va bene?
A noi in terza liceo scientifico ci hanno insegnato questo metodo(è la tua formulina, ma in altra forma), ma non ci hanno mai insegnato le approssimazioni!! Non le ho mai viste. Ne ho solo sentito parlare.
P.S.: mi scuso per il ritardo, ma la scuola chiama!