Facciamo una piccola pausa nel percorso di scoperta di come funziona LHC, o meglio, un digressione. Perché lo so che vi piacciono le foto dei macchinari e gli schemini colorati che metto insieme per tentare di farmi capire, ma so anche che ci sono dei loschi figuri la fuori che di tanto in tanto vorrebbero anche vedere delle formule e dei numeri. E allora, siccome da un po' l'angolo delle Formulette langue, diamo loro un po' di soddisfazione.
Nella puntata precedente vi ho raccontato di come sia fatto il complesso degli acceleratori del CERN, e di come i protoni, una volta estratti dalla bottiglietta dell'idrogeno e spogliati del fido elettrone, vengano accelerati sempre più nei passaggi nelle diverse macchine. In quell'articolo vi ho dato l'evoluzione delle energie all'uscita di ogni diverso acceleratore, misurate in elettronvolt. Ma a quale velocità viaggiano i protoni a ogni passaggio?
Per fare i conti ci serve qualche formula di cinematica relativistica semplice semplice. Iniziamo con il dire che le energie che ho citato (e che vi ripeto tra un attimo) sono energie cinetiche, che per convenzione chiameremo \(k\). Come già sapete, l'energia totale \(E\) di una particelle comprende sia la componente legata al moto (l'energia cinetica appunto), che quella immagazzinata nella sua massa \(m\):
\[ E = m + k\]
Come sempre, da bravi fisici pigri, assumiamo che la velocità della luce sia la nostra unità di misura fondamentale, e dunque che \(c=1\) e massa e energia si misurino nelle stesse unità. Adesso (e qui dovete fidarvi. Prima o poi ne chiacchiereremo insieme a Oliver) sappiate che:
\[ E = \gamma m \]
dove \(\gamma\) si chiama in gergo fattore di Lorentz, che si esprime anche come:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\]
\(\beta = \frac{v}{c}\) è la frazione della velocità della luce \(c\) a cui viaggia dunque una particella di massa \(m\) con energia \(E\).
Con l'aiuto delle tre formulette lì sopra, e sapendo che la massa del protone vale \(m\) = 0.938 GeV, riuscite a calcolare a quale frazione della velocità della luce si muovono i protoni all'uscita di ciascun tratto del loro viaggio verso LHC?
Prerequisiti per riuscire nell'impresa: un po' di algebra da scuola media, e una calcolatrice (a meno che vi ricordiate come estrarre le radici quadrate a mano). La risposta su questi stessi schermi tra qualche giorno. Eccovi di nuovo il sommario delle energie cinetiche massime in ogni acceleratore del complesso del CERN, buoni calcoli!
| Acceleratore | K [GeV] |
|---|---|
| LINAC2 | 0.05 |
| PS Booster | 1.4 |
| PS | 25 |
| SPS | 450 |
| LHC | 7000 |
Aggiornamento: la soluzione per i pigri è qui.
ci provo...
LINAC2: v/c = 0,314
PS Booster: v/c= 0,916
PS: v/c = 0,99935
SPS: v/c = 0,999998
LHC: v/c = 0,9999991
ho provato per PS e mi risulta: 0,999345899
complimentissimi ancora per questo fantastico blog
NO anche i compiti a casa NO!!!!!!!!!
faccio la pigra e aspetto i risultati, che tanto mi sono persa dalle parti della radice quadrata 🙂
rivoglio gli schemini colorati!
@Chiara: vergogna! Ah, che famiglia! 🙂
Io ho provato immaginando il massimo 7 TeV!
E dovrebbe venire ß = 0,9999999910251594
Ovvero questi simpatici protoni viaggiano a questa velocità:
299792.4553094105 km/s
E riguardo alla puntualità? Riescono a fare meglio dei treni Frecciarossa?
ß = 1 🙂
anche a me v=299792455.3 m\s 😀
Interessante è vedere che non sono necessarie energie esagerate per raggiungere velocità prossime a quelle della luce (99%). Per prendere pochi decimali in più le nostre povere particelle necessitano di energie enormi... poi ci si lamenta dell'aerodinamica delle automobili che per passare da 150 a 160Km/h necessitano di oltre 10 kW! 😀
il fatto e' che lim_{E->\infty} \beta(E) = 1; per cui a un certo punto, spingi spingi, la velocita' non cambia poi tanto.
io aggiungerei che c non è proprio 300.000 km/s
"Il fattore di Lorentz"... possibile che dobbiamo ancora tener conto di questa "formuletta-trovatina", fatto in fretta e furia, per spiegare, il perché della mancata interferenza della luce nell' interferometro di, Michelson & Morley nel lontano 1887.
Ecco perché sostengo che da quella data in poi è mancato una revisione critica.
E' Anton Lorentz che ha inventato l'accorciarsi della materia nella direzione del suo movimento nell'"etere" 🙂
Secondo voi è ancora valida questa ideuzza?
Questa ideuzza fino ad oggi è perfettamente confermata dai dati sperimentali, e permette di fare ottime previsioni che non hanno finora fallito, e dei cui risultati peraltro godi anche tu (per esempio ogni volta che accendi i GPS del tuo cellulare alla moda). Vedi tu.
ops.
arrivo in ritardo (biblico).
ma sono così pigro che non ce la faccio neppure a contare il numero dei nove dopo la virgola.
quanti sono, accipicchia!