Per un sacco di tempo mi sono ripromesso di parlare di fisica su queste paginette in modo semplice, metaforico e assolutamente senza traccia di matematica. Beh, mi sono reso conto che non si può. O meglio, certo, si può, ma si perde un sacco del divertimento (ebbene si, la matematica può essere divertente. O meglio, la matematica è divertente! Prima o poi ve lo dimostrerò); eppoi nei commenti delle ultime settimane sono saltate fuori delle domande troppo specifiche perché si possa rispondere dignitosamente senza tirare fuori una formuletta. E allora - udite udite! - ho deciso di rompere gli indugi e di inaugurare una nuova categoria di articoli, battezzata per l'occasione Formulette: non siete contenti? 🙂
Istruzioni per l'uso: non vi aspettate una derivazione completa delle formule (per questo, fanciulli, ci sono i libri) né un corso di fisica per corrispondenza. E che sia chiaro: non mi assumo nessuna responsabilità se qualche lettore, nel tentare di usare le formule citate per migliorare le sue prestazioni amorose, guarire dall'alitosi, costruirsi in casa un piccolo acceleratore di biglie o per qualunque altro uso improprio, dovesse rimanere ferito, deluso, offeso o affaticato. Siete avvisati.
Allora, da cosa cominciamo? Apparentemente qualcuno è rimasto confuso leggendo i miei divagazioni sulla partenza di LHC a proposito delle energie dei fasci e delle energie delle collisioni. Come sono correlate tra di loro? Come si fanno i conti, tentendo conto che le particelle in questione viaggio (quasi) alla velocita della luce? Ecco la risposta.
Nella collisione di due particelle di massa \(m_1\) e \(m_2\) e momento \(\vec{p}_1\) e \(\vec{p}_2\) l'energia totale nel centro di massa (cioè quel particolare sistema di riferimento in qui le due particelle hanno momento uguale ed opposto \(\vec{p}_1 = - \vec{p}_2\), il "baricentro" della collisione insomma) vale:
\[ E_{\rm CM} = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 \left( E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 \right)}\]
dove \(E_1\) ed \(E_2\) sono le energie totali delle particelle in questione.
Notarella: i fisici sono notoriamente pigri, e per facilitarsi la vita usano spesso una convenzione in cui la velocità della luce è posta uguale a 1. Il vantaggio? Adesso energie, momenti e masse sono tutti misurati nella stessa unità (tipicamente l'eV), e nei calcoli non si sono fastidiosi fattori c da portarsi dietro.
Nel caso di collisioni ad alta energia ultra-relativistiche - come a LHC - le energie delle particelle (a LHC 7 TeV) sono moooolto piu grandi delle loro masse (la massa di un protone è 1 GeV) e siamo autorizzati ad approssimare: nel centro di massa della collisione vale dunque la formuletta facile facile:
\[ E_{\rm CM} \simeq 2 E_1 \simeq 2 E_2\]
Ecco che si svela l'arcano: due fasci da 450 GeV danno collisioni con energia nel centro di massa di 900 GeV, due fasci da 7 TeV danno collisioni da 14 TeV.
Naturalmente la situazione sarebbe un po' diversa se invece di fare sbattere un protone accelerato contro un altro protone accelerato nel verso opposto lo mandassimo contro un bersaglio fisso. In questo caso il momento del bersaglio sarebbe nullo (\(\vec{p}_2 = 0\)) e l'energia disponibile nella collisione (sempre nell'approssimazione di particelle ultra-relativistiche) sarebbe soltanto:
\[ E_{\rm CM} \simeq \sqrt{2 E_1 m_2}\]
Il che vi spiega perché siano necessari i collisionatori (le macchine come LHC che fanno sbattere due fasci l'uno contro l'altro) per salire in energia: un solo fascio contro un bersaglio fisso mette a disposizione molta meno energia!
Per chi volesse approfondire, questo è il riassunto più breve che conosco della cinematica relativistica (anche se non necessariamente il più semplice). Al prossimo giro, a grande richiesta, la radiazione di sincrotrone. Ovvero: quanta energia perde una particella carica che corre lungo una traiettoria circolare? Buonanotte, e buona fortuna.
Che bello, LaTeX!!! Però mi hai fatto notare che durante l'estate la fisica è dievntata solo un bel ricordo lontano... Sarà meglio che torni a studiare!
La matematica è divertente! Sono curioso di vedere la dimostrazione..
Vorrei solo aggiungere a questo articoletto qualcosa :)... E' vero è noto che massa = energia come descrive la celeberrima formuletta di Einstein, ma come qualcuno noterà la massa è moltiplicata per una velocità (in questo caso quella della luce) al quadrato... quindi parrebbe strano che nelle "Formulette" compaiono solo le masse! Questo è unicamente dovuto alle unità di misura! Che nel caso delle formulette proposte sono le unità di misura naturali dove il modulo della velocità della luce non è più 300000000 bensì 1 un pò come quando passate da miglia/orarie a chilometri/orari!
Essa in quanto = 1 è per convenzione inglobata nella massa.
@Frik: Vero, vero, accidenti all'abitudine! Aggiungo una righetta nel post...
Che la matematica sia divertente sospetto sia solo una provocazione 😛
Però è vero che bisogna comprendere bene bene quello che dicono le formulette... altrimenti non capiamo.
Frik ha fatto una giusta osservazione che è giusta solo perchè Marco ha detto che è vera, ma sinceramente bisognerebbe comprenderla meglio.
Quella formuletta di Einstein è forse l'unica che tutti conoscono, ma non tutti ne apprezzano la veridicità.
Quindi io formulo una domanda semplice: perchè è vera solo E=mc^2? e non può essere
vera semplicemente E=m ?
Infatti ne gergo comune in sostanza si dice che la massa ha un'energia, o l'energia è uguale alla massa.
Pochi sanno che vuol dire quel c^2.
Perchè non è vero c^3? O soltanto c ?
ciao, e grazie a chi si cimenterà nella gravosa risposta 😉
@My-May: la matematica è divertente per davvero. Il fatto che sia possibile dimostrarlo, quella è la provocazione 🙂 Quanto alla richiesta di dimostrarti la più famosa formula di Einstein... scordatelo! Ho messo per bene le mani avanti, questo è un blog, non un corso di fisica per corrispondenza... 🙂 Anche se su quella formula prima o poi tornerò, ma per altre ragioni... (oggi faccio il misterioso)
Concordo!La matematica e' divertente molto piu' dell'enigmistica!
Avrei due domandine...
La prima: come si fa per far circolare due fasci in due direzioni opposte? Sono uno "sopra" l'altro? Sono in due anelli diversi? Solo alla fine vengono deviati per farli scontrare?
La seconda: l'urto fa rumore? Se non sbaglio, dovrebbe avvenire nel vuoto, e quindi non si dovrebbe sentire nulla. E' così?
La terza (anche se erano due :-)): quanto è grande il "corridoio" in cui circolano i fasci? Quello in cui è stato fatto il vuoto, insomma.
Ciao e complimenti per la pazienza che hai a rispondere a tanti messaggi...
@My-May,
se l'equivalenza massa-energia fosse stata nota qualche secolo prima, magari avremmo scritto tutti E=m e misurato masse in unità di energia.
Così non è stato, e ci portiamo dietro il c-quadro... non il c-cubo o il c-quarto, naturalmente: in un'equazione A=B i due termini A e B devo esprimere quantità fisiche confrontabili. Le "dimensioni", come le chiamano i fisici, contano...
@ Zar
Provo rispondere alla tua domanda sul rumore.
Un "urto", in fisica delle particelle, non dovrebbe essere associato all'idea comune di contatto *fisico* tra due oggetti che sbattono (es due automobili e fanno rumore).
Diciamo che due particelle subiscono un "urto" quando giungono a distanza sufficientemente vicina tale che il loro stato di moto (e non solo) ne risulti in qualche modo alterato.
Il "sufficientemente" ovviamente dipende dal raggio di azione delle interazioni in gioco.
Tra l'altro è così anche in astrofisica: si parla di "urto" tra oggetti astronomici che passano vicini tra loro anche senza che avvenga reale contatto: basta che le traiettorie dei due vengano fortemente perturbate dall'interazione reciproca (che in questo caso è gravitazionale, e agisce anche a grandi distanze).
Quanto al rumore, per generarlo occorre una perturbazione che si propaghi in un mezzo generando onde di pressione, ma nel caso delle particelle elementari in un mezzo l'effetto è praticamente nullo. Esistono tuttavia altri effetti macroscopici, di natura elettromagnetica, che sono facilmente osservabili e vengono appunto sfruttati per rivelare la presenza di particelle in un mezzo (esempi: ionizzazione, bremsstrahlung, emissione Cerenkov, radiazione di transizione).
@zar:
1) Dipende: se i due fasci sono composti da particelle di segno opposto (elettroni e positroni, per esempio, come nel caso di LEP, o protoni e antiprotoni nel caso del Tevatron o delll'SPS) le puoi far girare nello stesso tubo in senso opposto, ovviamente un po' distanziate, perché i magneti che le tengono in traiettoria funzioneranno per entrambi i fasci. Se invece le particelle dei due fasci sono le stesse (come nel caso di LHC) ti servono due tubi separati che corrono in parallelo come le corsie dell'autostrada, e soprattutto magneti separati. Guardati questa foto: http://cdsweb.cern.ch/record/39304/
2) No, l'urto non fa rumore. Per due motivi: il primo è proprio il vuoto: senza un mezzo il suono non si propaga. E poi, siccome abbiamo (avremo) 40 milioni di collisioni al secondo, queste produrrebbero un "rumore" a 40 MHz, e l'orecchio umano arriva a sentire più o meno fino 2 kHz. Se anche l'intensità sonora fosse considerevole e la cosa avvenisse nell'aria, non la sentiremmo...
3) Il diametro del tubo in cui circolano i fasci varia a seconda delle sezioni dell'acceleratore, ma è circa 4 cm.
@Marco: Mi chiedevo, quella zona che circonda i due fori (nella foto che hai postato sopra), che cos'è? Sono i magneti superconduttori?
Leggendo la didascalia mi sembrava di intuire qualcosa del genere.
Grazie.
@Marco:
a proposito di formulette...
"siccome abbiamo (avremo) 40 milioni di collisioni al secondo, queste produrrebbero un “rumore” a 40 MHz"
Mah, mi rimane qualche dubbio. Infatti, l'affermazione sarebbe più o meno vera a seconda della durata di ogni "impulso di pressione" associato all'urto. La trasformata di Fourier di un impulso rettangolare di durata T ed ampiezza F0 è infatti F(omega)=(2*F0/omega)*sin(omega*T/2).
A seconda dell'entità di T, così, ci si sposterebbe più verso l'affermazione "l'urto ha uno spettro caratterizzato quasi esclusivamente dalla sua fondamentale" oppure verso l'affermazione "ogni urto ha uno spettro uguale a quello del rumore bianco, cioè con tutte le frequenze presenti con la stessa ampiezza". Inoltre, nel primo caso la fondamentale sarebbe necessariamente a frequenza molto bassa.
La cosa è diversa quando si calcola, per esempio, la fondamentale del rumore associato al passaggio delle pale di una girante centrifuga davanti allo "sperone" della sua voluta, con una formuletta direttissima (numero di passaggi-pala al secondo): si considera che l'andamento della pressione sia sinusoidale, quindi la frequenza fondamentale "è già tutta lì".
Dove mi sto "incartando"? 😉
Saluti
@Stefano: si, sono proprio loro!
@Claudio: non credo tu ti stia incartando da nessuna parte, stai (stiamo) soltanto cercando di risolvere un problema che non può essere formulato in questo modo, e la colpa è mia che ti ho messo la pulce nell'orecchio facendo inconsciamente più o meno la stessa assunzione della pala di una centrifuga: che "la fondamentale fosse già tutta li". E' un'approssimazione lecita? Non ne ho idea, probabilmente no. Il punto è che non ha molto senso considerare le collisioni tra pacchetti di protoni in aria (ed è la ragione per cui il tubo è vuoto): invece di collidere tra di loro sbatterebbero conto le molecole dell'aria. Per cui io getto la spugna 🙂 e (da bravo fisico pigro) semplifico: non c'è suono perché siamo nel vuoto; e se non fosse vuoto non ci sarebbero collisioni, dunque nisba suono di nuovo. Immagino che non ti basti, ma spero capirai... 😉
Perfetto, grazie per le risposte. A proposito dei due "canali" in cui circolano i protoni: nella zona dell'urto questi si uniscono in una specie di scambio ferroviario?
E per fare il vuoto all'interno dei tubi, ci sono macchine sempre in funzione oppure è tutto talmente a tenuta che, fatto una volta, è fatto per sempre?
@Marco:
"Immagino che non ti basti"
sì, invece: "einverstanden!!!" 😉
... a proposito: per le giranti è un'approssimazione lecita e le analisi FFT dei segnali vibratori delle strumentazioni "a bordo macchina" lo confermano... Ma siamo PAUROSAMENTE fuori tema ! 😉
Grazie, buona serata,
saluti
Si, in effetti, si tratta di una specie di scambio ferroviario magnetico...
Quanto al vuoto, il sistema di LHC è piuttosto complesso. Se veramente ti interessano i dettagli, dai un'occhiata al capitolo 5 di questo articolone:
http://www.iop.org/EJ/article/1748-0221/3/08/S08001/jinst8_08_s08001.pdf
Buona lettura!
@Marco
Lascio perdere la formuletta di Einstein; però ti faccio una domanda che dimostra che non ho capito, o meglio non so se ho capito. Mi sembra così stupida che quasi mi vergogno...ma la faccio se no non capirò mai.
Tu dici che la massa di un protone è 1 GeV.
Se massa è uguale ad energia (o qualcosa di simile) se faccio scontrare due protoni, le energie che si ottengono sono pari alla somma delle masse? E' giusto?
Se fosse giusto non comprendo dov'è l'arcano. Se faccio scontrare 450 protoni contro altri 450 protoni otterrò una energia pari alla somma delle masse in gioco, quindi 900.
Siccome mi sembra stupida la cosa, la ritengo sbagliata, e questo in virtù della tua considerazione che fai:
"Nel caso di collisioni ad alta energia ultra-relativistiche - come a LHC - le energie delle particelle (a LHC 7 TeV) sono moooolto piu grandi delle loro masse".
Ecco perchè ti chiedevo la storia di C^2, perchè io sapevo che se immetto energia ad un protone (con massa X) per accelerarlo, praticamente introduco altra energia. La massa (virtuale..si può dire così?) del protone quindi aumenta in virtù della sua accelerazione. Insomma l'energia non è solo massa ma anche accelerazione.
Grazie ciao 🙂
@Marco : ho un paio di domandine anch'io 🙂
1- Giustamente hai detto che nel caso di 2 anelli di particelle uguali (protoni, qui) occorrono 2 campi magnetici diversi per mantenerle in traiettoria se le direzioni sono diverse, mentre per particella+antiparticella no. Mi chiedo.... era cosi' piu' conveniente realizzare 2 ambaradan distinti per usare solo protoni invece di usare un anello solo ( e relativi campi magnetici piu' semplici) e generare gli antiprotoni ? (traduzione... come si producono gli antiprotoni in quantita' sufficiente ?)
2- Le particelle virtuali. Ho cercato tanto in proposito, ma non ho ancora capito se si tratta di particelle reali con una vita brevissima oppure solo di un artificio matematico.
Ciao
Max
2-
@My-May:
in attesa della spiegazione rigorosa, ecco un piccolo spunto: i "fisici" sanno benissimo quando si riferiscono alla "massa a riposo" m0 di una particella e quando invece alla sua "massa" (senza altre specificazioni) o "massa relativistica" m, mentre noi tendiamo a fare... un po' di confusione! Il nesso tra le due passa attraverso un coefficiente "gamma" dipendente dal rapporto tra velocità della particella e velocità della luce, oppure in modo equivalente tramite la riscrittura della famosissima E=mc^2 facendo in modo di includere la quantità di moto: E=sqrt(p^2c^2+m^2c^4), avendo p=gamma*m*v.
Spero di non aver introdotto castronerie (dimensionalmente, le relazioni mi paiono corrette, ma non si sa mai)... Vado a memoria, ma penso che sul web si trovino milllllioni di spiegazioni...
@Max:
😉 eh no, usare antiprotoni no, sennò qualcuno subito li denunciava per attentato alla Vita Terrestre!!!
Saluti
@My-may: la tua domanda è esattamente la ragione per cui voglio ritornare sulla formula di Einstein! My-may mi ha preceduto: \(E=mc^2\) vale solo per particelle a riposo, esiste una formula più generale che vale per particelle in moto, dove c'è questo famoso coefficiente \(\gamma\) che tiene conto dell'energia accumulata per via del moto.
@Max: a Tevatron e all'SPS le collisioni sono (ed erano) tra protoni ed antiprotoni. Il problema è che gli antiprotoni non si trovano in bottiglia come come i protoni: li devi produrre e mettere da parte fino a che ne hai abbastanza. E` lungo, costoso e per raggiungere luminosità come quelle di LHC non sarebbe stato possibile (perlomeno oggi). Se vuoi sapere i dettagli come si producono, puoi iniziare a dare un'occhiata alla nostra fabbrichetta locale di antiprotoni (si, ne facciamo ancora), l'Antiproton Decelerator, per esempio iniziando da questo articolo:
http://psdoc.web.cern.ch/PSdoc/acc/ad/Documents/References/documents/ps-99-050.pdf
Buona lettura!
@Marco : letto e (parzialmente) capito 🙂
mancano un paio di dettagli :
- Che tipo di bersaglio si usa ? Qual'e' la "reazione" che porta alla produzione di protoni ?
- Il testo parla di 10^13 protoni per produrre 5*10^7 antiprotoni, ma non ho afferrato in quanto tempo. Traduco... quanti antiprotoni servirebbero per un fascio LHC e quanti se ne riescono a produrre ?
Sarebbe sempre necessario decelerarli (mi par di capire che la cosa complessa sia proprio quella) visto che poi andrebbero riaccelerati nell' LHC ?
Ciao
Max
Una cosa mi sembra importante, per velocità relativistica dovrebbe significare "prossimamente alla velocità della luce". Il problema è che è impossibile accelerare qualcosa alla velocità della luce se presumo che abbia una minima massa, ci vorrebbe una energia infinita... che non credo possieda l'LHC.
Solo le particelle che non hanno massa "vanno" a velocità della luce (vanno, non accelerano... e questo è anche un piccolissimo mistero), come per esempio il fotone. Infatti il fotone che va esattamente alla velocità della luce non ha un'energia infinita come si può pensare se avessimo la possibilità di accelerare il protone alla velocità della luce.
Mi chiedo quindi, quel 1 GeV del protone (sempre che abbia capito bene), a quanto corrisponde rispetto alla velocità della luce?
p.s.
per la cronaca mi son messo il nome di My-May perchè l'inglese non lo conosco, l'unica cosa che so è che My in inglese si pronuncia May, piu in la non ci arrivo 😛 , se vi capita di trovare in giro file in italiano alternativi all'inglese ho una possibilità in più di capirci qualcosa 😉
ciao grazie 🙂
Volevo dare il mio piccoo contributo alla questione delle unità di misura. Le letterine che si usano per indicare l'unità di misura non sono altro che indicazioni (diciamo ricette) riguardo a che tipo di apparato o procedura si deve usare per misurare la quantità in questione. Visto che la velocità della luce nel vuoto è una quantità che non dipende dall'osservatore posso benissimo scrivere c=1 cioè:
3x10^8 metri/secondi=1 da cui segue che
1secondo= 3x10^8 metri
(è un po' come quando dico che un litro è un decimetro cubo)
e questo va benissimo perchè tanto per misurare distanze o tempi mi basta usare un raggio di luce, cioè lo stesso "apparato" per qualunue osservatore nell'universo, dunque sto misurando la stessa grandezza fisica. Per esempio se io comunico ad un tipo sulla luna che un articolare evento è durato 3x10^8 metri lui capisce subito che nel tempo in cui è avenuto l'evento un raggio di luce ha percorso 3x10^8 metri e non devo specificare altro perchè il moto dei raggi di luce è lo stesso per me e per lui!
Allora per le energie avrò:
1 Joule=1Kg x m^2 / s^2 = 1 Kg x m^2 /(3 x 10^8 m)^2
1 kg= 9 x 10^16 Joule=5,6 x 10^35 eV
cioè sto misurando la stessa grandezza fisica quando misuro energia o massa a riposo di una particella, infatti massa a riposo e energia a riposo di una particella sono indipendenti dall'osservatore.
A questo livello non devo nemmeno parlare della formuletta di Einstein per la massa a riposo, tanto essa è solo una diretta conseguenza della costanza della velocità della luce esattamente come lo è questo discorso su metri, secondi, kg , Joule.
Allora nelle formule che ha scritto Marco all'inizio della pagina va benissimo scrivere solo le masse e ignorare c, tanto le masse le esprimiamo in eV.
Marco nel caso avessi scritto un sacco di fregnacce sono pronto per la pubblica gogna 🙂
1Gev è la massa del protone "a riposo" e,detto in altri termini corrisponde a (circa) 1,672 x 10^-27 kg ..è solo una questione di quali unità di misura utilizzare.
Gli elettrovolt sono molto più comodi perchè possono venire usati sia per le masse,che per l'energia che per la quantità di moto.
Scusate,sono di fretta..spero di non aver frainteso la domanda e di non aver detto scempiaggini.ciao a tutti!!
Se fosse 1 GeV per protone a riposo, presumo che una volta accelerato (quasi) alla velocità della luce, 1 diventa 450 GeV.
Io però non so di quanti protoni è composto un fascio. Non so se si è capito quale ragionamento (strampalato) sto cercando di fare per immaginarmi perchè si arriva a 450: se 450 è l'energia di un protone in accelerazione, oppure è solo la somma di un imprecisato numero di protoni che da 1 GeV, per via dell'accelerazione, portano a 450 GeV...? 🙂
@My-May : Parlando di 450 si considera l' energia di UN protone accelerato a 0.9999 ecc ecc la velocita' della luce.
Nello scontro di 2 protoni si ottengono quindi i famosi 900 GeV.
Il fascio comprende una caterva di protoni (non ricordo ora quanti...), ma le probabilita' che 2 protoni dei 2 fasci si scontrino sono talmente basse (dipendono dalla luminosita' del fascio) che ad ogni "scontro" di fasci mi pare che si stimi che ci siano solo 1-2 collisioni tra i protoni.
In ogni caso fa sempre testo la collisione di 2 SINGOLI protoni nel calcolo dell' energia necessaria a generare bosoni di Higgs.
Ovvio che piu' protoni si scontrano, piu' la probabilita' aumenta.
Per completezza, l' energia dello scontro di 2 protoni e' piu' o meno equivalente a quella di 2 zanzare in volo, solo "compressa" in 2 sole particelle invece che nei miliardi delle zanzare.
L' energia di tutto il fascio e' quella di un treno TGV a circa 200 KM/h di velocita', il che ti puo' far capire quanti protoni ci siano.
Ulteriore numerino interessante (letto da qualche parte...): con i protoni utilizzati per TUTTO il fascio si potrebbe riempire un granello di sabbia di idrogeno. Quindi puoi immaginare, tutta l' energia di un treno in corsa condensata in un granello di sabbia....
Ciao
Max
@My-May: lo so che può sembrare strano, ma e perfettamente possibile accelerare un oggetto leggero a una velocità molto vicina al quella della luce! Come hanno giustamente fatto notare Fabio e Max, un protone è decisamente leggero, eppure LHC un paio di settimane fa ne ha fatti circolare parecchi a 450 GeV (ognuno dei protoni nel fascio ha in media questa energia, non è la somma di tutte le energie: due settimane fa girava un pacchetto con 10^7 protoni, fai tu il conto dell'energia totale...). Un protone (che "pesa" 1 GeV) portato a 450 GeV dal buon vecchio SPS viaggia a una velocità che è circa 0.999997 quella delle luce, cioè qualche milionesimo di volte più lento, ma non di più! Come ho fatto il conto? Arriverà il post, prima o poi... ;-P
@Max: il bersaglio è una lastrina di metallo (berillio, rame, tungsteno, o altri più esotici come iridio, tantalio, ... dipende da molti fattori). la reazione di produzione è circa questa:
\[ p + p \rightarrow p + p + p + \bar{p}\]
Ovvero un protone del fascio con uno del nucleo del bersaglio butta fuori una coppia protone antiprotone. I tempi di produzione sono lunghetti, e ti tocca "raffreddare" gli antiprotoni perché ne vuoi avere abbastanza prima di iniziare ad accelerarli. La cosa non era fattibile per i livelli di luminosità di LHC...
@Marco : capito. Pensavo si potessero infilare in un anello di accelerazione e accumularli li senza doverli per forza rallentare.
Ciao
Max
@Marco (e altri)
Mi è un "pochino" piu chiaro il tutto.
grazie 🙂
Una precisazione: Non mi sembra strano assolutamente che si possa far accelerare un protone (in questo caso) a quelle velocità se i presupposti sono che:
1) la particella deve essere leggera
2) per una particella massiva (anche leggera) è impossibile che acceleri esattamente alla velocità c.
1a) piu la particella è leggera piu è possibile farla accelerare verso la soglia limite.
2a) quanto piu ci si avvicina al limite tanto piu energia è necessaria.
se i presupposti che mi immagino sono piu o meno giusti, anche se il protone a 450 GeV avesse una accelerazione poco inferiore a quella della luce, quando si arriva a 7TeV immagino che quei numeretti limite (0.999997 )si siano ristretti di pochissimo, nonostante abbiamo una energia qualche decina (calcoli alla mano dovrebbero essere piu o meno 14) di volte superiore.
Giusto? 🙂
Ci provo io Marco (così mi sento un fisico 🙂 ..correggimi se scrivo castronerie:
E=m(gamma)c^2
dove
gamma=radice(1-v^2/c^2)
esplicitando rispetto al rapporto v/c:
v/c=radice[1-(mc^2/E)^2]=0.999997 (quindi v è il 99,9997% di c )
dove
mc^2=massa a riposo del protone=0.938GeV
E=450GeV
ops..arriva un po' in ritardo, è la spiegazione di come ricavare la velocità dall'energia...
correggo:
gamma=1/radice(1-v^2/c^2)
la traiettoria reale compiuta dal fascio di particelle accelerato è curvilineo in modo continuo o è un "poligono" formato da un elevato numero di tratti rettilinei con i vertici "smussati" in corrispondenza di magneti "deflettori" ?
grazie
In prima approssimazione i fasci vanno "dritti" nelle sezioni in cui vengono accelerati (a LHC ce n'è solo una) e "curvano" nelle zone con i magneti. Nella realtà le cose sono più complesse, perché a seconda del tipo di magnete in cui passano e alla dinamica collettiva dei fasci, le traiettorie oscillano e "risuonano" nelle due direzioni trasversali alla linea di fascio.
ciao marco.
sono angela..studentessa di astronomia alle prese con l'esame di relatività.
Leggendo il tuo post mi è sorto un dubbio.
Se consideriamo infatti il caso di energie cinetiche trascurabili rispetto alle masse a riposo che differenza c'è tra un collider e uno scontro a bersaglio fisso tra 2 p?
Dai miei stupidi calcoli nn ho trovato alcuna differenza e il risultato mi da un energia disponibile pari alla somma delle masse.
che ne pensi?
Ciao Angela, benvenuta.
Non sono sicuro di capire bene il dubbio. Certo, in un sistema di riferimento in cui tu possa trascurare le energie cinetiche delle particelle l'energia in questione è solo la somma delle masse. Il problema è però che in questo sistema di riferimento sarebbe impossibile far interagire ("scontrare") le particelle in questione: niente energia cinetica, niente movimento (relativo)! In questo senso mi sembra un po' fuori luogo chiedersi che differenza ci sia tra un collider e uno scontro a bersaglio fisso, perché non ci sarebbe nessuno scontro di nessun tipo 🙂
Allora l'esercizio che mi è stato proposto è questo:Nel Large Hadron Collider del CERN di
Ginevra le particelle elementari vengono fatte
circolare in direzioni opposte in anelli di con-
tenimento e poi lasciate collidere. In questo
modo ciascuna particella ha la stessa energia
cinetica Ec nel laboratorio. La collisione si
puo' immaginare come totalmente inelastica in
modo tale che tutta l'energia a riposo di due
protoni che collidano e tutta la loro energia ci-
netica si possa usare per la produzione di nuove
particelle. Si calcoli l'energia disponibile nel
limite in cui la energia cinetica sia una piccola
frazione dell'energia a riposo e si con-
fronti il risultato con quello che si otterrebbe
per una collisione in un acceleratore lineare in
cui un protone collide con un altro protone a
riposo nel sistema del laboratorio.
che dici?
Dico che menzionare LHC all'inizio di questo esercizio è perlomeno pretestuoso. Un protone ha una massa di circa 1 GeV e entra in LHC a 450 GeV: anche senza nessuna accelerazione l'ipotesi di "energie cinetiche trascurabili" è già bella vanificata.
Detto questo, possiamo anche fare finta che non sia così e chiedersi che cosa succederebbe un un acceleratore che fornisca a un protone un'energia trascurabile rispetto alla sua massa. In questo caso in effetti l'energia disponibile in una collisione totalmente inelastica è semplicemente la somma delle masse dei due protoni. Come questo si confronti con lo scenario di un acceleratore lineare su bersagli fisso te lo lascio calcolare 🙂
Piuttosto, per fare l'avvocato del diavolo, ti invito a chiederti: ha senso parlare di collisioni totalmente inelastiche per protoni con energia cinetica trascurabile rispetto alla massa?
grazie per aver risposto cosi velocemente..e sinceramente!
Gli esercizi del mio prof. come hai visto sono molto fantasiosi..
La cinematica relativistica a energie cinetiche trascurabili non è che per me abbia molto senso ma se gli esercizi lo richiedono bisogna farlo. 😉
Grazie ancora!
di nuovo qui..spero di nn chiedere troppo ma mi è venuto un altro dubbio!;-)
che cosa significa che dei fotoni vengono prodotti per annichilazione in soglia tra una particella e la sua antiparticella?
Per energia in soglia io considero la minima energia che in un urto anaelastico una particella deve possedere perchè le particelle finali siano prodotte con quantità di moto nulla.
Ma per i fotoni non ha senso parlare di momento nullo..quindi nn so che fare..
grazie
Angela, l'espressione che usi in effetti suona strana anche a me: non è che stai confondendo i processi? Nel caso di un fotone che produca una coppia particella-antiparticella hai certamente un comportamento "a soglia": se il fotone non ha un'energia pari almeno alla somma della masse delle due particelle non c'è verso di produrle. Al contrario, l'annichilazione tra una particella e la sua antiparticella che da vita a uno o più fotoni può avvenire sempre: l'energia dei fotoni prodotto sarà al minimo la somma delle masse delle particelle, più in generale la somma delle loro energie (massa + momento).
eh no purtroppo la richiesta era proprio come te l'ho scritta.
probabilmente si intendeva il minimo dell'energia per il fotone.
ma a questo punto mi domando come fanno una particella e la sua antiparticella ad annichilirsi se la loro energia cinetica è nulla?
Prima di tentare di rispondere alla tua domanda mi sembra necessario che ci chiariamo: questi benedetti esercizi vengono da che corso?
Mi spiego: a volere fare i pistini, nell'ambito della pura cinematica relativistica l'annichilazione di un elettrone e di un positrone nel vuoto in un solo fotone non è possibile, perché essendo il fotone senza massa non potresti mai conservare allo stesso tempo energia e momento. Idem per il processo contrario: per le stesse ragioni a rigore non è permesso un decadimento di un fotone in una coppia particelle-antiparticella nel vuoto, hai sempre bisogno di mettere in mezzo un pezzetto di materia (solitamente un bel nucleo atomico) su cui far andare a sbattere il fotone. L'annichilazione di una particelle e della sua antiparticelle in un solo fotone è invece permessa (almeno come stadio intermedio di un processo) in QFT.
Da cui la domanda iniziale: in quale ambito stiamo giocando?
Venendo dunque alla tua domanda iniziale: se stiamo parlando di pura cinematica relativistica, immagino che la risposta non possa che essere "non possono". Se potessi mettermi in una condizione "classica" in cui ci sono un elettrone e un positrone "fermi" e distanti, beh, certo non annichilirebbero. Il punto è però che lo scenario non è credibile: l'annichilazione è di per se un fenomeno quantistico, e come sai non ha molto senso parlare di particelle "ferme" in questo caso.