I parametri del Modello Standard. Prima puntata: meno sono i parametri, migliore è la teoria

Con la ripresa delle operazioni di LHC ormai alle porte, penso che sia arrivato il momento per una nuova serie di articoli, nello stile di quelli su Come funziona LHC? e I rivelatori di LHC. Prima che i protoni inizino a correre e scontrarsi di nuovo (e, chissà, prima che alla finestra aperta dall'energia più elevata si affacci magari qualche fenomeno nuovo), volevo raccontarvi qualche dettaglio del Modello Standard, questa fantastica teoria che tanto bene descrive il mondo in cui viviamo, e che tanto testardamente insistiamo a voler provare sbagliata. Per farlo, pensavo di passare in rassegna i parametri del Modello Standard, discutendo quali siano le conseguenze del valore che questi parametri assumono, e provando anche a immaginare come sarebbe un universo in cui alcuni di questi parametri assumessero un valore diverso.

Perché è interessante studiare i parametri di una teoria? Per capirlo, e prima di tuffarci tra le pieghe del Modello Standard (che di parametri ne ha parecchi!) è importante capire che ruolo giocano i parametri in una teoria o in un modello fisico, e perché la loro presenza ci dice qualcosa della nostra ignoranza, o, se preferite, di quanto la suddetta teoria o modello siano incompleti.

Prendiamo ad esempio una teoria fisica semplice e molto conosciuta: la legge di gravitazione universale di Newton. Inclusa nei famosissimi Principia Mathematica pubblicati nel del 1687, la legge di gravitazione universale di Newton racchiude un'intuizione straordinaria: gli effetti della gravitazione terrestre, quelli che ci tengono ancorati alla superficie del nostro pianeta e fanno cadere a terra le mele dagli alberi, sono causati dalla stessa forza responsabile dell'orbita della Luna intorno alla Terra, e della Terra e dei pianeti intorno al Sole. Newton riesce a descrivere con un'unica equazione la forza che si esercita tra due corpi dotati di massa, siano essi mele o lune, riducendo di fatto il numero dei parametri necessari a descrivere i fenomeni gravitazionali a uno solo. La formula, che sono certo conoscete, recita:

\( F = G \frac{Mm}{r^2} \)

La forza \(F\) esercitata tra due corpi di massa \(M\) e \(m\) è proporzionale all'inverso del quadrato della loro distanza \(r\), e a una certa costante \(G\), appunto la costante di gravitazione universale di Newton. La teoria di Newton contiene un solo parametro, \(G\), che non viene predetto dalla teoria, e che può essere conosciuto solo misurandolo con un esperimento.

Prima dell'intuizione di Newton, per descrivere gli stessi fenomeni erano necessari più parametri. Per esempio, un certo valore per l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, quella responsabile della caduta delle mele dagli alberi al suolo, e un altro valore per l'accelerazione di gravità che mantiene la Luna in orbita intorno alla Terra (e così via: un parametro per l'attrazione gravitazionale tra Sole e Terra, tra il Sole e ognuno deli altri pianeti, e così via). La grandezza dell'intuizione di Newton consiste nell'unificare la conoscenza, e fare sì che tutti questi diversi parametri e apparentemente separati possano invece essere espressi a partire da un'unica espressione semplice, e un solo parametro universale. De la forza di attrazione gravitazionale sulla superficie terrestre attrazione era

\(F_{\rm mela} = m_{\rm mela} g_{Terra}\)

dove \(g\) è l'accelerazione di gravità sulla Terra, e invece la forza che mantiene la Luna in orbita era

\(F_{\rm Luna} = m_{\rm Luna} g_{Luna}\),

adesso Newton può invece unificare e semplificare, dicendo che

\(g_{Terra} = G \frac{M_{\rm Terra}}{r_{Terra}^2}\)

e

\(g_{Luna} = G \frac{M_{\rm Terra}}{r_{Luna}^2}\),

dove \(r_{\rm Terra}\) è il raggio terrestre (o meglio, la distanza tra il centro della terra e la mela), e \(r_{\rm Luna}\) è la distanza tra il centro della Terra e la Luna.

Perché la presenza di un parametro è sintomo di ignoranza? Perché, non essendo il suo valore predetto dalla teoria, sappiamo di fatto che la teoria non è in grado di esprimersi sull'origine del fenomeno che quel parametro descrive, ma solo di descriverne gli effetti. Nel caso della gravità, prima della scoperta della legge di Newton, la presenza di parametri separati per indicare gli effetti della gravità in ambienti diverse (sugli oggetti sulla superficie della Terra, sulla Luna in orbita intorno ad essa) era una conseguenza del non aver ancora afferrato l'origine comune dei due fenomeni. Con la semplificazione di Newton la conoscenza aumenta: entrambi i fenomeni (la mela che cade al suolo, la Luna in orbita) sono ricondotti a una stessa origine, e messi in un unico quadro coerente. Ma il fatto nella teoria sia rimasto un parametro libero, non predetto ma da misurare, la costante di gravitazione universale \(G\), ci dice anche che la teoria di Newton è sì in grado di sistematizzare le conseguenze della gravità (con la geniale intuizione della legge dell'inverso del quadrato della distanza), ma non di dire qualcosa sulla sua origine. Perché \(G\) assume quel particolare valore? Siccome dobbiamo misurarlo con gli esperimenti e la teoria non lo predice, evidentemente la teoria (quella teoria) non può rispondere a quella domanda. E come sarebbe il mondo se quel parametro assumesse un valore diverso? Può farlo? E se no, perché?

La presenza di un parametro libero in un modello fisico può dunque dirci molto della sua "completezza". Più sono i parametri, meno completa è la teoria, perché meno sono le quantità che la teoria riesce a predire. A ogni parametro corrisponde dunque un'ignoranza e un limite del modello. Pensate allora che il Modello Standard ha ben 18 parametri, se non contate le masse dei neutrini (in questo caso, i parametri diventano 26!). Alla prossima puntata vi racconto quali sono questi parametri, e in quelle che seguiranno cercheremo di scoprire quale sia il loro ruolo, quale ignoranza fondamentale nascondano, e come sarebbe il mondo se assumessero dei valori diversi da quelli che misuriamo.

(continua)